Примеры операций над множествамиПример 1. Даны множества $A=\{3,5,7,8,9\}$ и $B=\{2,3,7,8, 10\}$ Найти: $ A ∩ B $, $ A ∪ B $ , $ A \setminus B $, $ A ∆ B $ Решение.
Пример 2. Даны множества $A=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}$ и $B=\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}$ Найти: $ A ∩ B $, $ A ∪ B $ , $ A \setminus B $, $ A ∆ B $ Решение.
Калькулятор вычислений над множествами.Примечание:
| ||
www.reshim.su
Операции над множествами — Мегаобучалка
Федеральное агентство по образованию
Тверской колледж имени А.Н. Коняева
«Множества»
Учебно-методическое пособие по предмету «Математика»
для студентов первого курса
Тверь,
Одобрено предметной (цикловой) Заместитель директора
комиссией по учебной работе
Председатель Дац В.А. Виноградов Н.Е.
____________________ _____________________
Составил: Бодров Е.Н.
__________________
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Множества». Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Математика», «Дискретная математика», а также может быть полезно преподавателям математики.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………….. 4
1. Основные понятия теории множеств…………………………………………………. 5
2. Изображение множеств……………………………………………………………………. 6
3. Операции над множествами……………………………………………………………… 7
4. Основные свойства операций над множествами…………………………………. 9
5. Примеры решения задач……………………………………………………………….. 10
6. Задачи для самостоятельного решения……………………………………………. 12
Приложение А………………………………………………………………………………….. 15
Список литературы…………………………………………………………………………… 22
ВВЕДЕНИЕ
Теоретико-множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Теоретико-множественный подход способствует развитию общей культуры студентов, помогает видеть связи между явлениями. Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры студентов.
Основным средством формирования теоретико-множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы упражнений и задач. Предлагаемое пособие по теме «Множества» содержит как теоретический, так и практический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение студентами общими методами рассуждений, активизацию их мыслительной деятельности, выработку творческого подхода к решению задач, установление связи теоретико-множественных понятий с окружающей действительностью.
Основные понятия теории множеств
Понятия множество, элементы множества – одни из основных неопределяемых понятий современной математики.
Под множеством (семейством, набором, ансамблем) понимается совокупность объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.
Пример 1.1. — множество натуральных чисел, — множество целых чисел,
— множество рациональных чисел, — множество действительных чисел.
Запись означает, что элемент принадлежит множеству .
Запись означает, что элемент не принадлежит множеству .
Для обозначения множеств будем применять прописные буквы латинского алфавита, а элементов – строчные буквы латинского алфавита.
Способы задания множества:
1. Перечислением, то есть
2. Указанием свойства, которым обладают элементы, принадлежащие этому множеству. Данное свойство называется характеристическим. Множество записывается следующим образом:
, — характеристическое свойство.
Пример 1.2. — множество цифр, .
Определение 1.1. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение — Ø.
Определение 1.2. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Обозначение — .
Определение 1.3. Универсальным называют множество , состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.
Определение 1.4. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 1.5. Мощность множества — это число элементов множества . Обозначение — .
Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна
Операции над множествами
1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1. Объединение множеств
Пример 3.1.Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .
2. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).
Рисунок 3.2. Пересечение множеств
Пример 3.2.Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:
3. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).
Рисунок 3.3. Разность множеств
Пример 3.3.Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .
4. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).
Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств
Пример 3.4.Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .
5. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).
Рисунок 3.5. Дополнение к множеству
megaobuchalka.ru
Лекция 1.Множества. Операции над множествами
Дискретная математика — область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов.
Список литературы:
Яблонский С.В. — Введение в дискретную математику
Белоусов А.И. — Дискретная математика
Капитонова Ю.В. и др. – Лекции по дискретной математике
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. — Элементы дискретной математики
Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов
Зайцева С.С. Дискретная математика
К разделам дискретной математики обычно относятся: теория множеств, комбинаторика, общая алгебра, теория графов, математическая логика, теория алгоритмов, теория автоматов, теория кодирования и т.д.
1. Множества. Операции над множествами.
1.1. Множество. Способы задания множеств.
Дискретная математика изучает в основном конечные множества и операции на них.
В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, дал следующие определения для множества:
Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью.
Множество – это определенная совокупность объектов. Эти объекты называются элементами множества.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, X, Y, A1, A2, …, элементы множеств – строчными буквами: a, b, x, y, a1, a2, … .
Числовые множества:
N — множество всех натуральных чисел;
N0 — множество неотрицательных целых чисел
Z -множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
I — множество иррациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
C — множество комплексных чисел;
Символ обозначает принадлежность.
Запись 
означает, что элементx принадлежит множеству A.
Если
элемент x не принадлежит множеству A,
то пишут 
.
Множества бывают:
конечные; частный случай – единичное (одноэлементное) множество, например, множество преподавателей в этой аудитории, или множество десятичных цифр;
бесконечные; пример – множество натуральных чисел;
пустое (Ø).
Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента.
Способы задания (описания) множеств:
1) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1, a2, …, an, т.е. записывается в виде: A=a1, a2, …, an. При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурных скобках и разделяют запятыми.
Перечислением можно задавать только конечные множества.
2) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством P(x). В этом случае используется обозначение , т.е. элементы множества задаетсяхарактеристическим предикатом (условием).
Характеристическим предикатом можно задать как конечные, так и бесконечные множества.
3) Множество A можно задать порождающей процедурой (рекурсивное задание, задание алгоритмом). Используется обозначение .
Порождающая процедура – это процедура, которая в процессе работы порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определенного множества.
Пример .. – множество натуральных чисел от 1 до 4. Множество заданоперечислением всех своих элементов. Причем, элемент 3A, а 5A.
Пример .. M=C, C++, Java, C# – множество языков программирования, имеющих С-подобный синтексис. Задано перечислением.
Пример .. Множество A из примера 1.1. можно задать характеристическим предикатом .
Пример .. Зададим рекурсивно множество X алгоритмом:
1) 3X;
2)
если xX,
то элемент 
и (1x)
принадлежат X;
3) других элементов в X нет.
Заметим, что это множество – конечное, и его можно было задать выписыванием его элементов
.
Частным случаем рекурсивного задания множества является способ задания, основанный на процедуре, называемой математической индукцией. Рассмотрим его на примере задания множества натуральных чисел.
Пример .. Множество N задается следующими правилами:
1) задается базис индукции (исходный элемент):
1N;
2) указывается индуктивный переход:
если nN, то (n+1)N;
3) устанавливается правило замыкания:
других элементов, кроме построенных правилами 1 и 2, в N нет.
Задача: Определить различными способами множество М2n-1 всех нечетных чисел, не превышающих 10.
1.2. Подмножество. Равенство множеств.
Универсум. Булеан.
Определение 1.1. Множество A называется подмножеством множества B (обозначается AB), если каждый элемент A есть элемент B, т.е. если xA, то xB.
Символ обозначает отношение включение между множествами.
Пример .. Пусть 
и.
ТогдаBA.
Но .
В частности, каждое множество есть подмножество самого себя, т.е. AA.
Определение 1.2. Пусть A и B – некоторые множества. Говорят, что A равно B, и пишут A=B, если для любого x имеем: xA тогда и только тогда, когда xB.
Иначе говоря, A=B тогда и только тогда, когда AB и BA.
Если AB и AB, то это записывается AB, и говорят, что A есть собственное подмножество B. Пустое множество есть подмножество любого данного множества A, т.е. A.
Таким образом, доказательство равенства двух множеств A и B состоит из двух этапов:
1) Доказать, что A есть подмножество B.
2) Доказать, что B есть подмножество A.
Определение 1.3. Универсальное множество U (или универсум) есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
В теории чисел универсальное множество обычно совпадает с множеством всех целых или натуральных чисел. В математическом анализе универсальное множество может быть множество всех действительных чисел или множество всех точек n-мерного пространства.
Следует отметить, что универсальное множество U, хотя, и названо универсальным, однозначно не определено, если точно не указана область рассмотрения (предметная область). Конечно, любое множество, содержащее U, может быть использовано как универсальное множество.
По определению, каждое множество есть подмножество универсального множества.
Пример .. Так, для множества за универсум можно взять множество натуральных чисел, т.е.U=N.
Определение 1.4. Булеаном множества A (обозначается (A)) называется множество, состоящее из всех подмножеств множества A.
Пример .. Пусть 
.
Следовательно, булеан множества A есть множество (A)=.
Множество A из примера 1.8. содержит три элемента, а булеан (A) состоит из 23=8 элементов. В общем случае, если множество A содержит n элементов, множество (A) включает 2n элементов, т.к. A имеет 2n подмножеств.
По этой причине (A) часто обозначают через 2A.
1.3. Операции над множествами.
Множество часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера Л. Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик, механик и физик.
Например, задание множеств M1=a, b, c, d и M2=a, c, e, f приведено на рисунке, где замкнутые линия, называемые кругами Эйлера, ограничивают элементы одного множества.
В дальнейшем графическое изображение множеств было плодотворно исследовано Дж. Венном (1834-1923), создавшим диаграммную теорию изучения множеств различной природы.
Диаграммы, задающие множества, принято называть диаграммы Эйлера-Венна.
Если имеются некоторые множества, то из них можно получать новые с помощью определенных операций. Для наглядного изображения операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера-Венна.
Определение 1.5. Объединением множеств A и B называется множество, (которое обозначается AВ) состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Пример .9. Пусть , .
Тогда .
Определение 1.6. Пересечением множеств А и В называется множество, (которое обозначается АВ) которое состоит из общих элементов этих множеств.
Пример .10. Пусть ,. Тогда.
Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество, (которое обозначается А\В) всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.
Определение 1.8. Симметрическая разность множеств А и В (обозначается А∆В) есть множество (А\В)(В\А).
Пример .11. Пусть ,.
Тогда ,,
.
Определение
1.9. Дополнением
множества А (обозначается 
)
–это
множество элементов универсума, которые
не принадлежат А, т.е. 
.
Пример .12. Пусть.
Тогда,
если
,
то
.
Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение.
Пусть задано семейство множеств , где. Тогда
Операции над множествами обладают рядом важных свойств.
Теорема 1.1. Пусть задан универсум U. Тогда A, B, C U выполняются следующие свойства:
1. Свойства коммутативности: АВ=ВА
АВ=ВА
2. Свойства ассоциативности: А(ВС)=(АВ)С
А(ВС)=(АВ)С
3. Свойства дистрибутивности: А(ВС)=(АВ)(АС)
А(ВС)=(АВ)(АС)
4. Свойства тождества: А=А А=
АU=U АU=А
5. Законы идемпотентности: АA=A
АA=A
6. Свойства поглощения: А(АВ)=А
А(АВ)=А
7. Двойное дополнение: 
8.
Свойства дополнения: А
=U
А
=
9. Законы
де Моргана: 
Кроме того, .
Докажем свойство дистрибутивности относительно :
А(ВС)=(АВ)(АС).
Доказательство.
Пусть M= А(ВС) и K=(АВ)(АС).
1) Докажем, что MK.
Пусть элемент xM, тогда либо xA, либо x(ВС).
Если xA, то x(АВ) и x(АС). Значит x(АВ)(АС), т.е. xK.
Если x(ВС)., то xВ и xС. Значит x(АВ) и x(АС). Т.о. x(АВ)(АС), т.е. xK.
Значит, MK.
2) Докажем, что KM.
Пусть элемент xK, тогда x(АВ)(АС).
Это возможно только тогда, когда и x(АВ) и x(АС).
Здесь возможны 2 варианта.
xA. Но тогда получаем, что xА(ВС), т.е. xM.
xA. Но тогда получаем, что и xВ и xС. Т.е. x(ВС). Но это значит, что xА(ВС), т.е. xM.
Значит, KM.
3) Так как MK и KM, то M=K, то есть А(ВС)=(АВ)(АС).
Остальные тождества доказываются аналогично.
Определение
1.10. Покрытием множества A называется набор подмножеств 
,
гдеI – некоторое множество индексов, если
каждый элемент A принадлежит хотя бы одному из Ai.
Пример .3. Пусть A=, , , .
Тогда , , , , , является покрытием множества A.
Определение
1.11. Разбиением множества A называется набор его попарно
непересекающихся подмножеств 
,
гдеI – некоторое множество индексов.
— разбиение множества A, если выполняются два условия:
1) ;
2) 
,
т.е.aA тогда и только тогда, когда aAi для некоторого iI.
Пример .. Пусть A=, , , .
Тогда множество A=, , , является разбиением множества A.
Всего возможны 17 вариантов разбиения множества A.
studfiles.net
Тема 1. Множества и операции над ними
Содержание
Понятие множества и элемента множества.
Способы задания множества.
Отношения между множествами. Подмножества.
Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;
Дополнительная литература 2, 31, 82, 87, 92
Введение
Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.
Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще, любые математические объекты – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.
Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.
Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов — понятию множества.
1. Понятие множества и элемента множества
Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.
Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.
Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.
Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.
В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.
Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком .
Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аА. Прочитать его можно по-разному:
Объект а принадлежит множеству А.
Объект а – элемент множества А.
Множество А содержит элемент а.
Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а А. Его читают:
Объект а не принадлежит множеству А.
Объект а не является элементом множества А.
Множество А не содержит элемента а.
Пример
Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7А” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14 А” означает: “Число 14 не является однозначным”.
Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).
studfiles.net
Операции над множествами и их свойства
Шпаргалка: Множества Операции над множествами
РЕФЕРАТ
Множества. Операции над множествами
СОДЕРЖАНИЕ
Способы задания множества
Включение и равенство множеств
Диаграммы Эйлера-Венна
Операции над множествами
а) Объединение множеств
б) Пересечение множеств
в) Разность множеств
Дополнение множества
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Примеры множеств:
1) множество студентов в данной аудитории;
2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
3) множество точек данной геометрической фигуры;
4) множество чётных чисел;
5) множество корней уравнения х2 -5х+6=0;
6) множество действительных корней уравнения х2 +9=0;
Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.
Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.
Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.
Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5N, но N, N. Если А — множество корней уравнения х2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.
В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:
N- множество всех натуральных чисел;
Z- множество всех целых чисел;
Q- множество всех рациональных чисел;
R- множество всех действительных чисел.
Приняты также обозначения Z+, Q+, R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ, QЇ, RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.
Способы задания множества
Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:
1) перечисление элементов множества;
2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.
Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d, обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d}. Множество корней уравнения х2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.
Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х2 -5х+6=0}. Решив уравнение х2 -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.
Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.
Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1, 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.
Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А — пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.
Например, А={х | хІ+9=0, хR} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.
Включение и равенство множеств
Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.
Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.
Если Х У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: NZ, ZQ, QR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .
Диаграммы Эйлера-Венна
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:
С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:
если АВ, а В С, то АС.
Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует хС, а поэтому А С.
Операции над множествами
С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые операции над множествами мы будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.
Объединение множеств
Объединением АВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Символическая запись этого определения: А В={х | хА или хВ}.
Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.
Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В — характеристическим свойством Q(х), то А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.
Примеры объединений двух множеств:
1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А В ={2; 3; 5; 6; 7}.
2) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А В=[-2/3; 2] .
3) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}. Тогда A B ={x | 4m, mZ}.
Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже – на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу α множества М отвечает множество Аα, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.
Объединением системы множеств {Аα } называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аα. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.
Таким образом, элемент хтогда и только тогда, когда найдется такой индекс α0 М, что х A α0.
В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .
Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого α є М определим множество Аα =[0;α]; тогда = [0;2).
Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т.е. А1A2 = A2 А1, и ассоциативна, т.е. (А1A2 ) А3 = А1(A2 А3 ).
Пересечение множеств
Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.
Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | хА и х В}.
Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
А ∩ В
На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.
Если множество А задается характеристическим свойством Р(х), a множество В-свойством Q(х), то в А ∩ В входят элементы, одновременно обладающие и свойством Р(х), и свойством Q(х).
Примеры пересечений двух множеств:
1) Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7}.Тогда А ∩ В={5; 7}.
2) Пусть А=[-1/4; 7/4], В=[-2/3; 3/2]. Тогда А ∩ В= [-1/4; 3/2].
3) Пусть А= {х | х=2k, k є Z}, B={x | x=3n, n є Z}. Тогда А ∩ В ={x | x=6m, m Z}.
4) Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.
Операцию пересечения можно определить и для произвольной системы множеств {Аα }, где α М. Пересечением системы множеств {Аα }, называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств Аα, α М, т.е. = {x | xАα для каждого α М}.
В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись . Если M=N, то имеем пересечение последовательности множеств .
В рассмотренном выше примере системы множеств Аα =[0; α], αМ =(1; 2) получим:=[0;1].
Операция пересечения множеств, как и операция объединения, очевидно, коммутативна и ассоциативна, т.е. А1 ∩A2 = A2 ∩А1 и (А1 ∩A2 )∩ А3 = А1 ∩(A2 ∩ А3 ).
Разность множеств
Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.
А\В={х | х А и хВ},
что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:
На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.
Примеры разностей множеств:
1. Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда А\В ={2;7}, а В\А={3; 6}.
2. Пусть А=[-1/4;2], В=[-2/3; 7/4]. Тогда А\В=(7/4;2], а В\А=[-2/3; -1/4).
3. Пусть А — множество всех четных целых чисел, В — множество всех целых чисел, делящихся на 3. тогда А\В — множество всех четных целых чисел, которые не делятся на 3, а В\А –множество всех нечетных целых чисел, кратных трем.
Дополнение множества
Пусть множество А и В таковы, что АВ. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность В\А. В этом случае применяется обозначение СB А=В\А. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=СU А=U\А и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: СА={x | x A}.
На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения СВ А и СА:
laservirta.ru
Множества Операции над множествами
РЕФЕРАТ
Множества. Операции над множествами
СОДЕРЖАНИЕ
Способы задания множества
Включение и равенство множеств
Диаграммы Эйлера-Венна
Операции над множествами
а) Объединение множеств
б) Пересечение множеств
в) Разность множеств
Дополнение множества
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Примеры множеств:
1) множество студентов в данной аудитории;
2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
3) множество точек данной геометрической фигуры;
4) множество чётных чисел;
5) множество корней уравнения х2 -5х+6=0;
6) множество действительных корней уравнения х2 +9=0;
Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.
Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.
Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а
А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5
N , но N, N. Если А — множество корней уравнения х2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:
N- множество всех натуральных чисел;
Z- множество всех целых чисел;
Q- множество всех рациональных чисел;
R- множество всех действительных чисел.
Приняты также обозначения Z+ , Q+ , R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ , QЇ , RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.
Способы задания множества
Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:
1) перечисление элементов множества;
2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.
Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.
Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х2 -5х+6=0}. Решив уравнение х2 -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.
Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х
Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ хРассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.
Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А — пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.
Например, А={х | хІ+9=0, х
R} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.Включение и равенство множеств
Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х
У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х
У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.Если Х
У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: NZ, ZQ, QR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .Диаграммы Эйлера-Венна
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:
С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:
если А
В, а В С, то АС.Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х
А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует хС, а поэтому А С.mirznanii.com
04. Множества и операции над ними. Числовые множества. Некоторые обозн
Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами.
Множества изображают Диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Если элемент А принадлежит множеству А, то пишут A Î A; если элемент А не принадлежит множеству А, то пишут A Ï A.
Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов X, для которых выполняется свойство P(X), то пишут
Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется Подмножеством множества B (или говорят, что A Включено в B), пишут A Ì B (или B É A) (рис. 1.3). Два множества A, B называются Равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A Ì B и B Ì A. Множество, которое не имеет элементов, называется Пустым И обозначается символом Æ.
К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность, дополнение.
Пересечением множеств A, B называется множество A Ç B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (рис. 1.4).
Объединением множеств A, B называется множество A È B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из множеств A, B) (рис. 1.5).
Разностью множеств A\B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.6).
Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества U называется множество , которое определяется равенством (рис. 1.7).
A Ì B A Ç B A È B
Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5
А\В
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Для произвольных множеств A, B, C справедливы свойства:
1) Коммутативность объединения;
2) коммутативность пересечения;
3) Ассоциативность объединения;
4) Ассоциативность пересечения;
5) , дистрибутивность;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
Пусть – количество элементов множеств А и В соответственно, тогда справедлива формула
(1.8)
Рассматривают следующие числовые множества:
1) Множество натуральных чисел;
2) Множество целых чисел;
3) Q – Множество рациональных чисел: это множество всех обыкновенных дробей, т. е. чисел вида где
Множество Q определяется также, как множество всех бесконечных десятичных периодических дробей;
4) I – Множество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей;
5) R – Множество действительных чисел: .
Верны соотношения:
, , .
Произведение первых N натуральных чисел называется Факториалом, для него введен специальный символ:
.
По определению принимают 0! = 1.
Для всякого определены следующие понятия:
Целая часть (антье) числа X, определяется как целое число такое, что
;
Дробная часть (мантисса), определяется равенством
;
– Знак числа (сигнум), определяется следующим образом:
Если некоторые действительные числа, то Сумму Этих величин обозначают с использованием Знака суммы:
,
Где K – Индекс суммирования.
Свойства суммы:
1) – сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования;
2)
3)
4) – свойство сдвига индекса суммирования.
Пример 1. Доказать равенство
(1.9)
Доказательство. Пусть Согласно определению разности, получаем и Поскольку выполняются оба эти условия, то это возможно только в случае Получаем, что и т. е. Этим мы доказали, что
(1.10)
Допустим, что Тогда и но это означает, что
Два условия и которые имеют место, означают, что т. е.
(1.11)
Равенство (1.9) доказано, поскольку установлена справедливость включений (1.10) и (1.11).
Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике – 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета?
Решение. Пусть A – множество всех студентов курса; B – множество студентов, которые сдали зачет по математике, C – по физике (рис. 1.8).
Согласно условию задачи, , , , и надо найти .
Рис. 1.8
Находим, сколько человек сдали хотя бы один зачет:
Используем далее формулу (1.8), из которой выражаем
Получаем
Пример 3. Сократить дробь
Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что
Поэтому
Пример 4. Вычислить сумму
Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7:
Вычисляя, приходим к ответу
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua