Постройте график функции y = x^2 – 1
Задание.
Постройте график функции y = x^2 — 1.
Ответ
Выполним необходимый анализ функции для ее построения.
Определим вид функции. Поскольку она содержит квадрат аргумента х, то такая функция является квадратной, а ее графиком будет парабола. Парабола определена на всей числовой прямой. Поскольку перед квадратом х стоит знак «плюс» (условно), то ветви параболы будут направлены вверх.
Чтобы построить график параболы, необходимо вычислить координаты ее вершины, а также определить несколько ключевых точек, через которые она будет проходить.
Определим координаты вершины параболы:
Итак, получили, что вершина параболы находится в точке с координатами (0; —1).
Определим несколько точек, через которые парабола будет проходить. Для этого возьмем четыре значения х и вычислим для них значение функции у.
Первое значение х = 1: —точка с координатами (1; 0).
Второе значение х = 2: —точка с координатами (2; 3).
Третье значение х = —1: —точка с координатами (—1; 0).
Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую. Получили график функции y = x^2 — 1.
ru.solverbook.com
Построить график функции y=f(x). Исследование функции онлайн.
Введите график функции
Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)
Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
x*arcsin(x)
Арккосинус
x*arccos(x)
Применение логарифма
x*log(x, 10)
Натуральный логарифм
ln(x)/x
Экспонента
exp(x)*x
Тангенс
tg(x)*sin(x)
Котангенс
ctg(x)*cos(x)
Иррациональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
x*arctg(x)
Арккотангенс
x*arсctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Исследование графика функции
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
- Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
- Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
- Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
- Наклонные асимптоты графика функции: Да
- Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- e
- e число, которое примерно равно 2.7
- exp(x)
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - pi
- Число — «Пи», которое примерно равно 3.14
- sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)
В выражениях можно применять следующие операции:
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^3
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
www.kontrolnaya-rabota.ru
Постройте график функции y = 2x – 1
Задание.
Построить график функции y = 2x — 1.
Решение.
Рассмотрим саму функцию, поданную в виде , где k равно 2, а b равно —1. Такие функции называют линейными.
О линейных функциях известно, что их аргументы, а также значения самих функций ничем не ограничены, так как графиком этих функций является бесконечная прямая. Очень удобным является то, что для построения графика линейной функции вполне достаточно найти 2 точки, которые будут принадлежать этой функции, и соединить их прямой. График функции будет построен.
Наша задача сводится к тому, что нужно определить эти две точки.
Точки можно находить двумя способами:
первый — определить, в каких точках функция пересекается с осями координат;
второй — определить две любые точки прямой, подставив любые значения аргумента х.
Попробуем воспользоваться первым способом.
Если функция будет пересекать ось Ох, то для нее переменная у будет равна нулю. Подставим данное значение в уравнение функции и решим его:
Итак, первая точка функции имеет координаты .
Когда же функция пересекает ось Оу, то наоборот, переменная х равна нулю. Подставим ее значение ф уравнение функции и найдем вторую координату:
Вторая точка с координатами (0; —1).
Осталось нанести точки на плоскость и соединить прямой.
ru.solverbook.com
Постройте график функции y = 2^x +1
Задание.
Постройте график функции y = 2^х + 1.
Решение.
Построение графика любой функции необходимо начинать с анализа уравнения этой функции.
В уравнении функции видим в качестве одного из слагаемых число в неизвестной степени. Подобные функции называют показательными, к тому же они могут существовать при любом значении в показателе степени.
Обычно показательные функции не являются ни четными, ни нечетными, но, чтобы в этом убедиться, проверим четность данной функции. Для этого подставим в уравнение функции значение —х вместо х и проанализируем полученный результат:
Полученная функция ни четная, а также и не нечетная.
Далее найдем точки, через которые будет проходить функция, и которые помогут построить ее график. Так как говорилось выше, что в показателе степени может быть любое число, то будем брать не только положительные, но и отрицательные числа:
Найденных точек достаточное количество для получения адекватного графика заданной функции.
Найдем точку пересечения с осью Оу:
— точка(0; 2).
Точка пересечения с осью Ох находится немного сложнее:
— уравнение решения не имеет, так как положительное число в любой степени будет положительным.
Следовательно, график функции с осью Ох пересекаться не будет.
Нанесем точки на график и соединим линией.
ru.solverbook.com
Оператор |
Описание |
||||
| + — * : / () [] {} |
Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы. Знак умножения * писать не обязательно, например: 2*сos(5*x) можно писать как 2cos(5x). Используйте различные скобки для группирования выражений. | ||||
| x^n или p(x,n) |
Возведение в степень: xn, например p(x,3) или x^3 значит x в кубе, также можно написать xxx или x*x*x. | ||||
| root(x,n) | Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x. | ||||
| sqrt() | Квадратный корень. Эквивалентно root(аргумент,2) | ||||
| cbrt() | Кубический корень. Эквивалентно root(аргумент,3) | ||||
| logn(x,a) | Логарифм x пооснованию a | ||||
| ln() | Натуральный логарифм (с основанием е) | ||||
| lg() | Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм), то же, что и logn(аргумент,10). | ||||
| lb() | Логарифм по основанию 2 | ||||
| exp() | Экспоненциальная функция (e в заданной степени), эквивалентно e^аргумент | ||||
| sin() | Синус | ||||
| cos() | Косинус | ||||
| tan() | Тангенс | ||||
| cot() | Котангенс | ||||
| sec() | Секанс, определяется как 1/cos() | ||||
| csc() | Косеканс, определяется как 1/sin() | ||||
| asin() | Арксинус | ||||
| acos() | Арккосинус | ||||
| atan() | Арктангенс | ||||
| acot() | Арккотангенс | ||||
| asec() | Арксеканс, обратный секанс | ||||
| acsc() | Арккосеканс, обратный косеканс | ||||
| sinh() | Гиперболический синус, шинус | ||||
| cosh() | Гиперболический косинус, чосинус | ||||
| tanh() | Гиперболический тангенс | ||||
| coth() | Гиперболический котангенс | ||||
| sech() | Гиперболический секанс | ||||
| csch() | Гиперболический косеканс | ||||
| asinh() | Гиперболический арксинус, функция обратная sinh() | ||||
| acosh() | Гиперболический арккосинус, функция обратная cosh() | ||||
| atanh() | Гиперболический арктангенс, функция обратная tanh() | ||||
| acoth() | Гиперболический арккотангенс, функция обратная cotanh() | ||||
| asech() | Гиперболический арксеканс, функция обратная sech() | ||||
| acsch() | Гиперболический арккосеканс, функция обратная csch() | ||||
| gaussd(x,среднее,сигма) | Нормальное распределение (Распределение Гаусса). Например gaussd(x,0,1) есть нормальное стандартное расперделение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. | ||||
| min(число1,число2) |
Вычисляет наименьшее из 2х значений | ||||
| max(число1,число2) | Вычисляет наибольшее из 2х значений | ||||
| round() | Округляет аргумент до целого значения | ||||
| floor() | Округление вниз | ||||
| ceil() | Округление вверх | ||||
| abs() или | | | Модуль (абсолютное значение) | ||||
| sgn() | Функция сигнум, определяет знак аргумента
|
||||
| rand | Случайное число от 0 до 1 |
matemonline.com
Постройте график функции x^2-y^2 = 1
Задание.
Постройте график функции x^2 — y^2 = 1.
Ответ
Строить график этой функции можно несколькими способами. Выберем наиболее простой и понятный.
Преобразуем данную функцию к виду, который выражает функцию у через аргумент х. другими словами выразим из этой функции значение переменной у. для этого сначала оставим квадрат переменной у в одной части уравнения, а все остальное перенесем в другую:
Выразим значение переменной у. Для этого извлечем из обеих частей уравнения квадратный корень:
В выражении для у получили квадратный корень, для которого существуют ограничения — квадратный корень не может существовать от отрицательного числа. Таким образом, получаем ограничение области определения функции, которое и найдем:
То есть график функции будет расположен правее прямой х = 1.
Найдем точки пересечения с осью Ох, поскольку с осью Оу график пересекаться не будет:
у = 0:
Согласно полученному ограничению области определения, для нашего графика подходит только точка х = 1. Значит, график будет проходить через точку (1; 0).
Далее найдем несколько точек графика. Для этого вместо аргумента х подставим произвольные значения из промежутка от 1 до плюс бесконечности (согласно области определения):
х = 2:
х = 3:
х = 4:
Таким образом, получили еще шесть точек с координатами:
Построим эти точки и проведем через них кривую.
ru.solverbook.com
Постройте график функции y=2x^4-x^2+1
Задание.
Постройте график функции y = 2x^4 — x^2 + 1.
Решение.
Проведем анализ функции.
Функция будет существовать для любых значений переменной х, то есть никаких ограничений по оси Ох нет.
Проверим на четность или нечетность:
То есть функция четная, а значит, симметрична относительно оси Оу.
Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Для этого найдем производную функции:
Приравняем эту производную к нулю:
или
или
Получили три нуля функции и четыре промежутка:
Найдем знак производной на каждом из этих промежутков:
— функция убывает
— функция возрастает
— функция убывает
— функция возрастает
Найдем значения функции в концах промежутков:
Для построения найдем еще для двух значений х их значения у и отобразим их симметрично Оу:
:
:
Нанесем точки на плоскость и, с учетом всех найденных особенностей функции, проведем кривую графика.
ru.solverbook.com